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第二章优化的数学根柢试卷阐发ppt

日期:2019-11-21 08:02 来源: 优化卷的定义

  

第二章优化的数学根柢试卷阐发ppt

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  1.本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。 第二章 优化设计的数学基础 补充:等值(线)面: 补充:等值(线)面: 补充:等值(线 多元函数的方向导数和梯度 §2.1 多元函数的方向导数和梯度 §2.2 多元函数的泰勒展开 §2.2 多元函数的泰勒展开 §2.2 多元函数的泰勒展开 §2.3 无约束优化问题的极值条件 §2.3 无约束优化问题的极值条件 例1: 例2: §2.4 凸集、凸函数与凸规划 §2.4 凸集、凸函数与凸规划 第五节 等式约束优化问题的极值条件 §2.5 约束优化问题的极值条件 §2.5 约束优化问题的极值条件 §2.5 等式约束优化问题的极值条件 §2.5 约束优化问题的极值条件 §2.5 约束优化问题的极值条件 §2.5 约束优化问题的极值条件 §2.5 约束优化问题的极值条件 §2.5 约束优化问题的极值条件 §2.5 约束优化问题的极值条件 §2.5 约束优化问题的极值条件 §2.5 约束优化问题的极值条件 §2.5 约束优化问题的极值条件 §2.5 约束优化问题的极值条件 掌握的要点 什么是梯度?梯度方向? 为什么要做泰勒展开? 海赛矩阵是什么?正定的条件是什么? 无约束目标函数的极值点存在条件? 什么是凸集、凸函数、凸规划? 凸函数的判定条件? 函数的凸性与局部极值及全域最优值间的关系 约束目标函数的极值点存在条件? 1. 有一个适时约束时: 从几何上看,当从 x (k)点出发不存在一个 S 方向能同时满足: 与x(k)点目标函数的负梯度方向成锐角,即沿 S 方向目标函数值下降; 与x(k)点约束函数的梯度方向成钝角,即保证 S方向上各点在可行域内。 此时,获得最优解 x(k) 为最优点 x*, f(x(k))为最优值 f(x*)。 从几何上看,当从 x(k)点出发存在一个 S 方向能同时满足: 与x(k)点目标函数的负梯度方向成锐角,即沿 S 方向目标函数值下降; 与x(k)点约束函数的梯度方向成钝角,即保证 S方向上各点在可行域内。 此时,x(k)不是最优点 x*。 2. 有二个适时约束时: x(k)成为约束最优点 x* 的必要条件为: 几何上 位于 和 所张的扇形子空间内。 即不存在一个 S 方向能同时满足: 相反,不符合以上条件: 不能表达成 和 的线性组合。 几何上 不位于 和 所张的扇形子空间内。则 x(k) 点不是最优点。 即存在一个 S 方向能同时满足: 凸函数的性质: 若f(x)是定义在凸集D上的严格凸函数,则f(x)在D上的一个极小点,也就是全局最小点。 凸函数的线性组合仍然为凸函数。 设x(1), x(2)为凸函数 f(x)上的两个最小点,则其连线上的任意点也都是最小点。 三、凸性条件(判别函数为凸函数) 1.根据一阶导数(函数的梯度)来判断函数的凸性 设f(x)为定义在凸集R上,且具有连续的一阶导数 的函数,则f(x)在R上为凸函数的充要条件是对凸 集R内任意不同两点 ,不等式 恒成立。 设f(x)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的 函数,则f(x)在R上为凸函数的充要条件: Hesse矩阵在R上处处半正定。 若Hesse矩阵处处正定,则f(x)为严格凸函数。 2.根据二阶导数( Hesse矩阵)来判断函数的凸性 四、凸规划 对于约束优化问题 若 都为凸函数,则此问题为凸规划。 凸规划的性质: 1.若给定一点 ,则集合 为凸集。 2.可行域 为凸集。 3.凸规划的任何局部最优解就是全局最优解。 当f(x)为二元函数时,其等值线呈现大圈套小圈形式。 总结: 第五节 等式约束优化问题的极值条件 约束优化 等式约束 不等式约束 求解这一问题的方法 消元法 拉格朗日乘子法 一、消元法(降维法) 以二元函数为例讨论。 基本思想:根据等式约束条件将一个变量x1表示 成另一个变量x2的函数关系 。然后将这 一函数关系带入到目标函数 中消去x1, 使目标函数变成一元函数这就将等式约束转化 为无约束优化问题。对于n维,有几个等式约束就 可以消去几个变量。 二、拉格朗日乘子法(升维法) 对于具有L个等式约束的n维优化问题 处有 第五节 等式约束优化问题的极值条件 基本思想:通过增加变量将等式约束优化 问题变成无约束优化问题: 拉格朗日函数 待定系数 新目标函数的极值的必要条件 将原来的目标函数作如下改造: 例2-4 用拉格朗日乘子法计算在约束条件 的情况下,目标函数 的极值点坐标。 第六节 不等式约束优化问题的极值条件 在工程中大多数优化问题,可表示为不等式约束条件的优化问题。 有必要引出非线性优化问题的重要理论,不等式 约束的多元函数的极值的必要条件是: 库恩-塔克(Kuhn-Tucker)条件 一、一元函数在给定区间上的极值条件 一元函数f(x)在给定区间[a,b]上的极值问题,可以 写成下列具有不等式约束条件的优化问题: 拉格朗日乘子法,除了可以应用于等式的极值问题,还可 以用于不等式的极值问题。用拉格朗日乘子法时,需引入 松弛变量,将不等式约束变成等式约束。 设a1和b1为两个松弛变量,则上述的不等式约束可写为: 第六节 不等式约束优化问题的极值条件 则该问题的拉格朗日函数: 根据拉格朗日乘子法,此问题的极值条件: 第六节 不等式约束优化问题的极值条件 由 (起作用约束) (不起作用约束) 同样 ,来分析 起作用何不起作用约束。 因此,一元函数在给定区间的极值条件,可以表示为: 第六节 不等式约束优化问题的极值条件 多元 库恩-塔克条件 分析极值点 在区间的位置,有三种情况 第六节 不等式约束优化问题的极值条件 当 时,此时 ,则极值条件为: 当 时,此时 则极值条件为 即 第六节 不等式约束优化问题的极值条件 当 时 ,此时 ,则极值条件为 即 第六节 不等式约束优化问题的极值条件 从以上分析可以看出,对应于不起作用的约束的拉格朗日乘子取零值,因此可以引入起作用约束的下标集合。 一元函数在给定区间的极值条件,可以改写为: 极值条件中只考虑起作用的约束和相应的乘子。 第六节 不等式约束优化问题的极值条件 二、库恩-塔克条件 仿照一元函数给定区间上极值条件的推导过程, 可以得到具有不等式约束多元函数极值条件: 用起作用约束的下标集合表示 第六节 不等式约束优化问题的极值条件 用梯度形式表示,可得 或 库恩-塔克条件的几何意义:在约束极小点处,函数的负梯度一定能表示成所有起作用约束在该点梯度的非负线性组合。 下面以二维问题为例,说明K-T条件的几何意义 第六节 不等式约束优化问题的极值条件 从图中可以看出, 处在 和 角锥之内,即线性组合的系数为正,是在 取得极值的必要条件。 第六节 不等式约束优化问题的极值条件 三、库恩-塔克条件应用举例 若给定优化问题的数学模型为 K-T条件 第六节 不等式约束优化问题的极值条件 一. 优化设计最优解 无约束优化设计问题最优解: 约束优化设计问题最优解: 不受约束条件限制,使目标函数达到最小值的一组设计变量,即最优点 x*=[x1*,x2*,…,x n*] 和最优值 f(x*)构成无约束问题最优解。 满足约束条件,使目标函数达到最小值的一组设计变量, 即最优点 x*=[x1*,x2*,…,x n*] 和最优值 f(x*)构成约束问题最优解。 二. 有约束问题最优点的几种情况 有适时约束 目标函数是凸函数,可行域是凸集,则目标函数等值线与适时约束曲面的切点为最优点,而且是全局最优点。 无适时约束 目标函数是凸函数,可行域是凸集,则最优点是内点。相当于无约束问题的最优点。 x (k) 为最优点x*的条件: 必要条件: 充分条件: Hesse矩阵 H(x(k)) 是正定矩阵 · f (x) · x* · X* 有适时约束 目标函数是非凸函数(图 a),或可行域是非凸集(图 b): 则目标函数等值线与适时约束曲面可能存在多个切点,是局部极值点,其中只有一个点是全局最优点。 二. 有约束问题最优点的几种情况 p Q Q p 三. K-T ( Kuhn-Tucker 库恩-塔克) 条件 它是约束极值点存在条件,用来判断某个可行点是否为约束极值点。 K—T条件的图形说明: 几何上,x(k)成为约束最优点(极小点)x*时,目标函数的负梯度向量位于 m 适时约束梯度向量所张成的子空间内。 * * §2.1 多元函数的方向导数和梯度 §2.2 多元函数的泰勒展开 §2.3 无约束优化问题的极值条件 §2.4 凸集、凸函数与凸规划 §2.5 等式约束优化问题的极值条件 §2.6 不等式约束优化问题的极值条件 机械设计问题一般是非线性规划问题。 实质上是多元非线性函数的极小化问题,因此,机械优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上的。 机械优化设计问题分为: 无约束优化 约束优化 无条件极值问题 条件极值问题 对于可计算的函数 f(x),给定一个设计点 X(k)(x1(k),x2(k), …,xn (k)),f(x)总有一个定值c 与之对应;而当f(x)取定值 c 时,则有无限多个设计点X(i)(x1(i), x2(i), …,xn(i) ) (i=1,2, … )与之对应,这些点集构成一个曲面,称为等值面。 当 c 取c1,c2, …等值时,竞价员的事业职责是什么!就获得一族曲面族,称为等值面族。 当f(x)是二维时,获得一族等值线族; 当f(x)是三维时,获得一族等值面族; 当f(x)大于三维时,获得一族超等值面族。 等值线的“心” (以二维为例) 一个“心”:是单峰函数的极(小)值点,是全局极(小)值点。 没有“心”:例,线性函数的等值线是平行的,无“心”,认为极值点在无穷远处。 多个“心”:不是单峰函数,每个极(小)值点只是局部极(小)值点,必须通过比较各个极值点和“鞍点”(须正确判别)的值,才能确定极(小)值点。 等值线的形状: 同心圆族、椭圆族,近似椭圆族; 等值线的疏密: 沿等值线密的方向,函数值变化快; 沿等值线疏的方向,函数值变化慢。 等值线的疏密定性反应函数值变化率。 严重非线性函数——病态函数的等值线族是严重偏心和扭曲、分布疏密严重不一的曲线 多元函数的方向导数与梯度 一、方向导数 从多元函数的微分学得知,对于一个连续可微函数f(x)在某一点 的一阶偏导数为: , , , … 它表示函数f(x)值在 点沿各坐标轴方向的变化率。 有一个二维函数,如图2-1所示。 图2-1 函数的方向导数 为 d 的方向角,即与坐标轴的夹角 §2.1 多元函数的方向导数与梯度 其函数在 点沿d方向的方向导数为 §2.1 多元函数的方向导数与梯度 二维问题中,f (x1,x2 ) 在 X(0) 点沿方向d的方向导数可以写为: 二. 二元函数梯度 其中: 是 X(0)点的梯度。 为d方向的单位向量, 方向导数 为梯度 在方向 d 上的投影。 结论:函数在某点沿各方向的方向导数随 即 变化,其最大值在余弦函数取值为1时,也就是当梯度方向与d方向重合时其值最大。可见,梯度方向就是函数值变化最快的方向,而梯度的模就是函数变化率的最大值。 梯度方向和切线方向垂直,即梯度方向为等值面的法线方向。 三、多元函数的梯度 沿d方向的方向向量 即 §2.1 多元函数的方向导数和梯度 总结: ① 梯度是 X(0)点处最大的方向导数; ② 梯度的方向是过点的等值线的法线方向; ③ 梯度是X(0) 点处的局部性质; ④ 梯度指向函数变化率最大的方向; ⑤ 正梯度方向是函数值最速上升的方向, 负梯度方向是函数值最速下降的方向。 §2.1 多元函数的方向导数和梯度 图2-5 梯度方向与等值面的关系 n 维函数 f(x) 在 x(k) 点的泰勒展开式: 二阶近似式: 其中:增量 Δ X (k) =[Δx1 (k) , Δx2 (k) ,…, Δxn (k) ]T 梯度 一. Hessian 矩阵与正定 Hesse 矩阵: 将函数进行泰勒展开取到二次项时得到二次函数形式,优化计算经常把目标函数表示成二次函数以便使问题简化。 Hesse 矩阵的特性:是实对称矩阵。 矩阵正定的充要条件: 主子式 det(ait)>0 当主子式 det(ait)≥0 时,矩阵半正定 det(ait)<0时,矩阵负定 det(ait)≤0时,矩阵半负定 Hesse 矩阵的正定性: H(x*)正定, 是 x* 为全局极小值点的充分条件; H(x*)半正定, 是 x* 为局部极小值点的充分条件; H(x*)负定, 是 x* 为全局极大值点的充分条件; H(x*)半负定, 是 x* 为局部极大值点的充分条件。 正定的二次函数:曲面为椭圆抛物面; 等值线族为椭圆曲线族,椭圆中心为极小值点。 正定Hesse 矩阵 若目标函数f(x)处处存在一阶导数,则极值点 的必要条件一阶偏导数等于零,即 满足此条件仅表明该点为驻点,不能肯定为极值 点,即使为极值点,也不能判断为极大点还是极 小点,还得给出极值点的充分条件 设目标函数在 点至少有二阶连续的偏导数,则 在这一点的泰勒二次近似展开式为: 为N维函数f(x)在点 处的Hesse矩阵 多元函数f(x)在 处取得极值,则极值的条件为 (1) ▽F(X*)=0; 必要条件 (2)Hesse矩阵G(X*)为正定。 充分条件 为无约束极小点的充分条件是 其Hesse矩阵G(X*)为正定的。 为无约束优化问题的极值条件 同学考虑二元函数在 处取得极值的充分必要条件。 各阶主子式大于零 极值点存在的必要条件: 如果函数f(x)的一阶导数f’(x)存在的话,则欲使x*为极值点的必要条件为: f’(x*)=0 极值点存在的的充分条件: f’’(x)0,则该点为极大值;f’’(x)0,则改点为极小值。 一.一元函数 二.二元函数 极值点存在的必要条件: 如果函数f(x1,x2)在某点处取得极值,必要条件为: 极值点存在的的充分条件: 如果函数f(x1,x2)在某点处取得极值,充分条件为在该 点处的海塞矩阵正定。 第四节 凸集、凸函数与凸规划 前面我们根据函数极值条件确定了极小点 则函数f(x)在 附近的一切x均满足不等式 所以函数f(x)在 处取得局部极小值,称 为 局部极小点。 而优化问题一般是要求目标函数在某一区域内 的全局极小点。 函数的局部极小点是不是一定是全局极小点呢? 图2-7 下凸的一元函数 一、凸集 的线段都全部包含在该集合内,就称该点集为凸集, 否则为非凸集。 一个点集(或区域),如果连接其中任意两点 凸集的性质: (1)若A是一个凸集,b是一个实数,则bA还是凸集。 (2)若A和B是凸集,则集合A+B还是凸集。 (3)任何一组凸集的交集还是凸集。 二、凸函数 函数f(x)为凸集定义域内的函数,若对任何的 及凸集域内的任意两点 存在如下不等式: 称 是定义在凸集上的一个凸函数。 当上式中的≤为<时,f(x)是严格凸函数。 图2-10 凸函数的定义

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